Positive definite matrix là gì? Các bài nghiên cứu khoa học

Định nghĩa Ma trận Xác định Dương

Ma trận vuông $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ gọi là xác định dương nếu với mọi vectơ cột không không $x \in \mathbb{R}^n$ ta có

$x^T A x > 0$

Điều kiện này đảm bảo biểu thức nội sinh của $A$ luôn dương, phản ánh tính chất “tích lũy năng lượng” dương trên không gian vectơ. Ma trận xác định dương luôn đối xứng, tức $A = A^T$, vì chỉ đối xứng mới cho kết quả thỏa mãn mọi $x$.

Trong hình học, điều kiện $x^T A x > 0$ mô tả elip thể tích tròn (ellipsoid) khi $A$ là ma trận hệ số, đồng thời khẳng định $A$ có thể coi như định luật “năng lượng” hay “khoảng cách” trên không gian số thực.

Tính chất Cơ bản

Một ma trận xác định dương $A$ có các tính chất sau:

• Đối xứng: $A = A^T$;
• Giá trị riêng dương: nếu $A v = \lambda v$ với vectơ riêng $v$, thì $\lambda > 0$;
• Định thức dương: $\det(A) > 0$ và mọi định thức con chính (principal minor) cũng > 0.

Ngoài ra, mọi ma trận xác định dương đều có căn thức (square root) và nghịch đảo xác định dương:

$\exists\,A^{1/2},\ A^{-1},\text{ với }A^{1/2}=(A^{1/2})^T,\ A^{-1}=(A^{-1})^T,\ \lambda_i(A^{1/2}),\lambda_i(A^{-1})>0.$

Chính những tính chất này làm cho ma trận xác định dương trở thành thành phần then chốt trong giải thuật số, tối ưu hóa và phân tích phổ.

Các Cách Nhận Diện

Có nhiều phương pháp xác định tính xác định dương của $A$, phổ biến nhất gồm:

• Biểu thức thưởng nghiệm: kiểm tra $x^T A x$ với các vectơ $x$ cơ bản hoặc ngẫu nhiên;
• Phân tích giá trị riêng: tính toàn bộ $\{\lambda_i\}$ của $A$, yêu cầu $\lambda_i > 0$ với mọi $i$;
• Kiểm tra định thức con chính: mọi định thức con chính cấp $k$ (principal minor) phải dương.

Trong thực hành số, việc kiểm tra phân tích giá trị riêng thường tốn kém về chi phí tính toán, trong khi kiểm tra định thức con chính qua Định lý Sylvester cho phép đánh giá tuần tự và dừng sớm khi gặp bất kỳ định thức con âm.

Điều Kiện Sylvester

Theo định lý Sylvester, một ma trận đối xứng $A$ xác định dương khi và chỉ khi tất cả các định thức con chính từ cấp 1 đến cấp $n$ đều dương. Cụ thể:

$\Delta_1 = \begin{vmatrix}a_{11}\end{vmatrix} >0,\ 
\Delta_2 = \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}
\end{vmatrix}>0,\ \dots,\ 
\Delta_n = \det(A)>0.$

Quy trình này cho phép kiểm tra từng bước, dừng lại ngay khi một $\Delta_k \le 0$, do đó tiết kiệm tính toán so với việc giải toàn bộ phổ giá trị riêng.

Cấp $k$	Định thức con chính $\Delta_k$	Yêu cầu
1	$\Delta_1 = a_{11}$	$>0$
2	$\Delta_2 = a_{11}a_{22}-a_{12}^2$	$>0$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
$n$	$\Delta_n = \det(A)$	$>0$

Việc tuân thủ đầy đủ các điều kiện Sylvester đảm bảo chắc chắn về tính xác định dương của $A$ trước khi áp dụng trong tối ưu hóa, mô phỏng hoặc phân tích ổn định hệ thống.

Phân tích Giá trị Riêng

Ma trận xác định dương $A$ luôn đối xứng và do đó có thể viết phân tích giá trị riêng dưới dạng trực giao:

$A = Q \Lambda Q^T, \quad \Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n),\ Q^TQ=I.$

Một ma trận xác định dương đòi hỏi mọi giá trị riêng $\lambda_i$ đều dương. Việc tính toán phổ giá trị riêng cho phép đánh giá trực tiếp độ “mạnh” của tính xác định dương: giá trị nhỏ nhất $\lambda_{\min}$ phản ánh hướng ít dương nhất, trong khi $\lambda_{\max}$ phản ánh hướng nhiều dương nhất.

Phân tích giá trị riêng còn cung cấp thông tin về condition number $\kappa(A)=\lambda_{\max}/\lambda_{\min}$, là đại lượng đánh giá độ nhạy của hệ thống khi giải $Ax=b$. Condition number cao (>$10^8$) cho thấy nguy cơ mất ổn định số học, trong khi $\kappa\approx1$ thể hiện hệ tốt và dễ giải.

Phân tích Cholesky

Phân tích Cholesky là phương pháp hiệu quả để phân tách ma trận xác định dương thành tích của ma trận tam giác dưới và chuyển vị của nó:

$A = LL^T,\quad L\text{ tam giác dưới, }L_{ii}>0.$

Giải thuật Cholesky duyệt tuần tự các hàng và cột, tính $L_{ii} = \sqrt{A_{ii} - \sum_{k=1}^{i-1} L_{ik}^2}$ và $L_{ji} = \frac{1}{L_{ii}}(A_{ji} - \sum_{k=1}^{i-1}L_{jk}L_{ik})$. Phương pháp này yêu cầu $\mathcal{O}(n^3/3)$ phép toán, nhanh hơn so với giải phổ toàn phần.

Phân tích Cholesky không chỉ xác nhận tính xác định dương mà còn tạo nền tảng cho các bài toán tối ưu và tích phân Gaussian trong xác suất, đồng thời giảm sai số so với LU decomposition thông thường do tránh chia cho giá trị riêng nhỏ.

Ứng dụng trong Tối ưu hóa

Trong tối ưu hóa lồi, hàm bậc hai

$f(x)=\tfrac12 x^T A x - b^T x + c$

là lồi toàn cục nếu và chỉ nếu ma trận $A$ xác định dương. Điều này đảm bảo tồn tại nghiệm duy nhất $\nabla f(x)=Ax-b=0$. Các phương pháp gradient descent và Newton tận dụng sự xác định dương để hội tụ nhanh chóng về nghiệm tối ưu.

• Gradient Descent: bước nhảy $\alpha_k$ chọn sao cho $0<\alpha_k<2/\lambda_{\max}$ đảm bảo hội tụ.
• Newton’s Method: yêu cầu tính $\nabla^2 f(x)=A$ và giải hệ $A p=-\nabla f(x)$ qua Cholesky.

Phân tích tốc độ suy giảm giá trị hàm mục tiêu cho thấy Newton hội tụ bậc hai, trong khi gradient descent hội tụ tuyến tính với tốc độ phụ thuộc $\kappa(A)$.

Ứng dụng trong Thống kê

Ma trận hiệp phương sai $\Sigma$ của phân phối Gaussian đa biến phải xác định dương để mật độ xác suất hợp lệ:

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^n\det\Sigma}}\exp\Bigl(-\tfrac12(x-\mu)^T\Sigma^{-1}(x-\mu)\Bigr).$

Tính xác định dương của $\Sigma$ đảm bảo $\Sigma^{-1}$ tồn tại và $\det\Sigma>0$. Trong hồi quy tuyến tính, ma trận thiết kế $X^TX$ xác định dương nếu các biến độc lập không đa cộng tuyến, cho phép ước lượng tham số $\hat\beta = (X^TX)^{-1}X^Ty$.

Trong phân tích thành phần chính (PCA), việc phân tích giá trị riêng của $\Sigma$ cho phép sắp xếp và chọn các thành phần chính theo phương sai lớn nhất, tối ưu hóa giảm chiều dữ liệu.

Kiểm tra Số và Ổn định Tính Toán

Việc thực thi các giải thuật liên quan đến ma trận xác định dương đòi hỏi đánh giá độ ổn định số học. Condition number $\kappa(A)$ càng cao, kết quả giải hệ càng dễ chịu ảnh hưởng của sai số làm tròn. Sử dụng phân tích Cholesky thường ổn định hơn so với phép khử Gauss thông thường.

Trong thực tế, để kiểm tra nhanh, người ta có thể áp dụng Cholesky và dừng khi gặp căn thức âm hoặc không xác định, thay vì tính toàn bộ phổ. Ngoài ra, sử dụng thư viện số LAPACK hay Eigen đề xuất các hàm `potrf` và `LLT` được tối ưu hóa cho tính chính xác và hiệu suất trên nhiều nền tảng.

Tài liệu Tham Khảo

• Horn, R.A., Johnson, C.R. Matrix Analysis. Cambridge University Press, 2013.
• LAPACK Working Group. LAPACK Users’ Guide. Truy cập: https://www.netlib.org/lapack/lug/
• MathWorld. “Positive Definite Matrix.” Truy cập: https://mathworld.wolfram.com/PositiveDefiniteMatrix.html
• Bertsekas, D.P. Nonlinear Programming. Athena Scientific, 1999.
• Mardia, K.V., Kent, J.T., Bibby, J.M. Multivariate Analysis. Academic Press, 1979.
• MIT OpenCourseWare. “Numerical Methods for Partial Differential Equations.” Truy cập: https://ocw.mit.edu/courses/18-335j-numerical-methods-for-partial-differential-equations-spring-2019/